Precálculo Ejemplos

$\log (x + 1) - \log (x - 2) = \log (x)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x + 1}{x - 2}) = \log (x)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x + 1}{x - 2} = x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x - 2, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$x - 2, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x - 2$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{x + 1}{x - 2} = x$ por $x - 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{x + 1}{x - 2} = x$ por $x - 2$ .

$\frac{x + 1}{x - 2} (x - 2) = x (x - 2)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 1}{x - 2} (x - 2) = x (x - 2)$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x + 1 = x (x - 2)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 2$

Paso 3.2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 2$

Paso 3.2.3.2.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 2 x$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 2 x = x + 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - x = 1$

Paso 3.3.2.2

Resta $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x = 1$

Paso 3.3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Paso 3.3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.6.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.6.1.3

Suma $9$ y $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Paso 3.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x + 1) - \log (x - 2) = \log (x)$ sea verdadera.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Forma decimal:

$x = 3.30277563 \dots$