Precálculo Ejemplos

$\log (x - 8) - \log (8 x - 60) = \log (\frac{1}{x})$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 8}{8 x - 60}) = \log (\frac{1}{x})$

Paso 1.2

Factoriza $4$ de $8 x - 60$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$\log (\frac{x - 8}{4 (2 x) - 60}) = \log (\frac{1}{x})$

Paso 1.2.2

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$\log (\frac{x - 8}{4 (2 x) + 4 (- 15)}) = \log (\frac{1}{x})$

Paso 1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (2 x) + 4 (- 15)$ .

$\log (\frac{x - 8}{4 (2 x - 15)}) = \log (\frac{1}{x})$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x - 8}{4 (2 x - 15)} = \frac{1}{x}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$(x - 8) x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica $(x - 8) x$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x - 8) x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Paso 3.2.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x - 8) x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 8 x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 8 x = 4 (2 x - 15) \cdot 1$

Paso 3.2.2

Simplifica $4 (2 x - 15) \cdot 1$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 8 x = (4 (2 x) + 4 \cdot - 15) \cdot 1$

Paso 3.2.2.2

Multiplica.

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Paso 3.2.2.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$x^{2} - 8 x = (8 x + 4 \cdot - 15) \cdot 1$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 15$ .

$x^{2} - 8 x = (8 x - 60) \cdot 1$

Paso 3.2.2.2.3

Multiplica $8 x - 60$ por $1$ .

$x^{2} - 8 x = 8 x - 60$

Paso 3.2.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Resta $8 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 8 x - 8 x = - 60$

Paso 3.2.3.2

Resta $8 x$ de $- 8 x$ .

$x^{2} - 16 x = - 60$

Paso 3.2.4

Suma $60$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 16 x + 60 = 0$

Paso 3.2.5

Factoriza $x^{2} - 16 x + 60$ con el método AC.

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Paso 3.2.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $60$ y cuya suma es $- 16$ .

$- 10, - 6$

Paso 3.2.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 10) (x - 6) = 0$

Paso 3.2.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 3.2.7

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.7.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 3.2.7.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 3.2.8

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.8.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.2.8.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.2.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 10) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 10, 6$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x - 8) - \log (8 x - 60) = \log (\frac{1}{x})$ sea verdadera.

$x = 10$