Precálculo Ejemplos

$\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (3 x + 3)) = 1$

Paso 1.2

Expande $(x - 2) (3 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (3 x + 3) - 2 (3 x + 3)) = 1$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x + 3)) = 1$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log (3 x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (3 x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Paso 1.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 \cdot x - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 2 \cdot 3) = 1$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 6) = 1$

Paso 1.3.2

Resta $6 x$ de $3 x$ .

$\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} - 3 x - 6$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{2} - 3 x - 6 = 10^{1}$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 10$

Paso 3.2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.2.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 3 x - 6 - 10 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $10$ de $- 6$ .

$3 x^{2} - 3 x - 16 = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 3$ y $c = - 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 16)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 16$ .

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Paso 3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 192}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.1.3

Suma $9$ y $192$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{6}$

Paso 3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}, \frac{3 - \sqrt{201}}{6}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$ sea verdadera.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Forma decimal:

$x = 2.86290781 \dots$