Precálculo Ejemplos

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

Paso 5

Multiplica $\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

Paso 6

Reescribe $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Paso 7

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

Paso 8

Simplifica $10 ((x + 4) (x - 4))$ .

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Paso 8.1

Expande $(x + 4) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

Paso 8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Paso 8.2

Simplifica los términos.

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Paso 8.2.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Paso 8.2.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 4$ y $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Paso 8.2.1.2

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

Paso 8.2.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

Paso 8.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

Paso 8.2.3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 8.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $10$ por $- 16$ .

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

Paso 9

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Resta $10 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

Paso 9.2

Resta $10 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

Paso 10

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 10.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

Paso 10.2

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

Paso 10.3

Reordena $- {(3 x)}^{2}$ y $4^{2}$ .

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

Paso 10.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = 3 x$ .

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

Paso 10.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

Paso 11

Simplifica $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ .

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Paso 11.1

Expande $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 11.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Paso 11.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Paso 11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Paso 11.2

Simplifica los términos.

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Paso 11.2.1

Combina los términos opuestos en $4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ .

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Paso 11.2.1.1

Reordena los factores en los términos $4 (- 3 x)$ y $3 x \cdot 4$ .

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

Paso 11.2.1.2

Suma $- 3 \cdot 4 x$ y $3 \cdot 4 x$ .

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Paso 11.2.1.3

Suma $4 \cdot 4$ y $0$ .

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Paso 11.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.2.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Paso 11.2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

Paso 11.2.2.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 11.2.2.3.1

Mueve $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

Paso 11.2.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

Paso 11.2.2.4

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$16 - 9 x^{2} = - 160$

Paso 12

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

Paso 12.2

Resta $16$ de $- 160$ .

$- 9 x^{2} = - 176$

Paso 13

Divide cada término en $- 9 x^{2} = - 176$ por $- 9$ y simplifica.

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Paso 13.1

Divide cada término en $- 9 x^{2} = - 176$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Paso 13.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común de $- 9$ .

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Paso 13.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Paso 13.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

Paso 13.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{176}{9}$

Paso 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

Paso 15

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ .

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Paso 15.1

Reescribe $\sqrt{\frac{176}{9}}$ como $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

Paso 15.2

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.1

Reescribe $176$ como $4^{2} \cdot 11$ .

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Paso 15.2.1.1

Factoriza $16$ de $176$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

Paso 15.2.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

Paso 15.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Paso 15.3

Simplifica el denominador.

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Paso 15.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 15.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Paso 16

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 16.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Paso 16.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Paso 16.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Paso 17

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ sea verdadera.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Paso 18

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Forma decimal:

$x = 4.42216638 \dots$