Precálculo Ejemplos

$\ln (x - 5) + \ln (4) = \ln (x - \ln (2))$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 5) \cdot 4) = \ln (x - \ln (2))$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot 4 - 5 \cdot 4) = \ln (x - \ln (2))$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (4 \cdot x - 5 \cdot 4) = \ln (x - \ln (2))$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$\ln (4 x - 20) = \ln (x - \ln (2))$

Paso 2

Simplifica $- \ln (2)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$\ln (4 x - 20) = \ln (x + \ln (2^{- 1}))$

Paso 3

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$4 x - 20 = x + \ln (2^{- 1})$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 20 = x + \ln (\frac{1}{2})$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x - 20 - x = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 4.2.2

Resta $x$ de $4 x$ .

$3 x - 20 = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 4.3

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = \ln (\frac{1}{2}) + 20$

Paso 4.4

Divide cada término en $3 x = \ln (\frac{1}{2}) + 20$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $3 x = \ln (\frac{1}{2}) + 20$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3} + \frac{20}{3}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3} + \frac{20}{3}$

Paso 4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3} + \frac{20}{3}$

Paso 4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.3.1.1

Reescribe $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$ .

$x = \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2}) + \frac{20}{3}$

Paso 4.4.3.1.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$x = \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{20}{3}$

Paso 4.4.3.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$x = \ln (\frac{1^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}) + \frac{20}{3}$

Paso 4.4.3.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}) + \frac{20}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}) + \frac{20}{3}$

Forma decimal:

$x = 6.43561760 \dots$