Precálculo Ejemplos

$\ln (x - 3) - \ln (x) = 5$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x}) = 5$

Paso 2

Reescribe $\ln (\frac{x - 3}{x}) = 5$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5} = \frac{x - 3}{x}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x - 3 = e^{5} (x)$

Paso 4

Multiplica $e^{5}$ por $x$ .

$x - 3 = e^{5} x$

Paso 5

Resta $e^{5} x$ de ambos lados de la ecuación.

$x - 3 - e^{5} x = 0$

Paso 6

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x - e^{5} x = 3$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x - e^{5} x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{5} x = 3$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $- e^{5} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{5}) = 3$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- e^{5})$ .

$x (1 - e^{5}) = 3$

Paso 8

Divide cada término en $x (1 - e^{5}) = 3$ por $1 - e^{5}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x (1 - e^{5}) = 3$ por $1 - e^{5}$ .

$\frac{x (1 - e^{5})}{1 - e^{5}} = \frac{3}{1 - e^{5}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $1 - e^{5}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 - e^{5})}{1 - e^{5}} = \frac{3}{1 - e^{5}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{1 - e^{5}}$

Paso 9

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x - 3) - \ln (x) = 5$ sea verdadera.

$No hay solución$