Precálculo Ejemplos

$\ln (x + 4) - \ln (x - 2) = \ln (x)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 4}{x - 2}) = \ln (x)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x + 4}{x - 2} = x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x - 2, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$x - 2, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x - 2$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{x + 4}{x - 2} = x$ por $x - 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{x + 4}{x - 2} = x$ por $x - 2$ .

$\frac{x + 4}{x - 2} (x - 2) = x (x - 2)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 4}{x - 2} (x - 2) = x (x - 2)$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x + 4 = x (x - 2)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 4 = x \cdot x + x \cdot - 2$

Paso 3.2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x + 4 = x^{2} + x \cdot - 2$

Paso 3.2.3.2.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x + 4 = x^{2} - 2 x$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 2 x = x + 4$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - x = 4$

Paso 3.3.2.2

Resta $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x = 4$

Paso 3.3.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Paso 3.3.4

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 3.3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 3.3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 3.3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.3.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.3.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.3.7

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.7.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.3.7.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x + 4) - \ln (x - 2) = \ln (x)$ sea verdadera.

$x = 4$