Precálculo Ejemplos

$\ln (x + 2) - \ln (x - 1) = 1$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 2}{x - 1}) = 1$

Paso 2

Reescribe $\ln (\frac{x + 2}{x - 1}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{x + 2}{x - 1}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x + 2 = e (x - 1)$

Paso 4

Simplifica $e (x - 1)$ .

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Paso 4.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 = e x + e \cdot - 1$

Paso 4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e$ .

$x + 2 = e x - 1 \cdot e$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 e$ como $- e$ .

$x + 2 = e x - e$

Paso 5

Resta $e x$ de ambos lados de la ecuación.

$x + 2 - e x = - e$

Paso 6

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x - e x = - e - 2$

Paso 7

Factoriza $x$ de $x - e x$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e x = - e - 2$

Paso 7.2

Factoriza $x$ de $- e x$ .

$x \cdot 1 + x (- e) = - e - 2$

Paso 7.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- e)$ .

$x (1 - e) = - e - 2$

Paso 8

Divide cada término en $x (1 - e) = - e - 2$ por $1 - e$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x (1 - e) = - e - 2$ por $1 - e$ .

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e}{1 - e} + \frac{- 2}{1 - e}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $1 - e$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e}{1 - e} + \frac{- 2}{1 - e}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- e}{1 - e} + \frac{- 2}{1 - e}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- e - 2}{1 - e}$

Paso 8.3.2

Factoriza $- 1$ de $- e$ .

$x = \frac{- (e) - 2}{1 - e}$

Paso 8.3.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- (e) - 1 (2)}{1 - e}$

Paso 8.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (e) - 1 (2)$ .

$x = \frac{- (e + 2)}{1 - e}$

Paso 8.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.5.1

Reescribe $- (e + 2)$ como $- 1 (e + 2)$ .

$x = \frac{- 1 (e + 2)}{1 - e}$

Paso 8.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{e + 2}{1 - e}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{e + 2}{1 - e}$

Forma decimal:

$x = 2.74593012 \dots$