Precálculo Ejemplos

$\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{3 x + 1}{x + 1})$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x + 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$1, x + 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x + 1$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ por $x + 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ por $x + 1$ .

$x (x + 1) = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Paso 3.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + x = 3 x + 1$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 3 x = 1$

Paso 3.3.1.2

Resta $3 x$ de $x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

Paso 3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Paso 3.3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5

Simplifica.

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Paso 3.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.3.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 3.3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$ sea verdadera.

$x = 1 + \sqrt{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 1 + \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 2.41421356 \dots$