Precálculo Ejemplos

$\ln (- x + 1) - \ln (3 x + 5) = \ln (- 6 x + 1)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{- x + 1}{3 x + 5}) = \ln (- 6 x + 1)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 x + 5, 1, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$3 x + 5, 1, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$3 x + 5$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ por $3 x + 5$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ por $3 x + 5$ .

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3 x + 5$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$- x + 1 = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x + 1 = - 6 x (3 x) - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

Paso 3.2.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

Paso 3.2.3.1.3

Multiplica $5$ por $- 6$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Paso 3.2.3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.4.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.3.1.4.1.1

Mueve $x$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 (x \cdot x) - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Paso 3.2.3.1.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Paso 3.2.3.1.4.2

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Paso 3.2.3.1.5

Multiplica $3 x + 5$ por $1$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 3 x + 5$

Paso 3.2.3.2

Suma $- 30 x$ y $3 x$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 27 x + 5$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 = - x + 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 + x = 1$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 27 x$ y $x$ .

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 = 1$

Paso 3.3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 - 1 = 0$

Paso 3.3.4

Resta $1$ de $5$ .

$- 18 x^{2} - 26 x + 4 = 0$

Paso 3.3.5

Factoriza $- 2$ de $- 18 x^{2} - 26 x + 4$ .

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Paso 3.3.5.1

Factoriza $- 2$ de $- 18 x^{2}$ .

$- 2 (9 x^{2}) - 26 x + 4 = 0$

Paso 3.3.5.2

Factoriza $- 2$ de $- 26 x$ .

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) + 4 = 0$

Paso 3.3.5.3

Factoriza $- 2$ de $4$ .

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Paso 3.3.5.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x)$ .

$- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Paso 3.3.5.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 (- 2)$ .

$- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$

Paso 3.3.6

Divide cada término en $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Divide cada término en $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 3.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.6.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 3.3.6.2.1.2

Divide $9 x^{2} + 13 x - 2$ por $1$ .

$9 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{0}{- 2}$

Paso 3.3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.6.3.1

Divide $0$ por $- 2$ .

$9 x^{2} + 13 x - 2 = 0$

Paso 3.3.7

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.8

Sustituye los valores $a = 9$ , $b = 13$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.9

Simplifica.

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Paso 3.3.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.9.1.1

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

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Paso 3.3.9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.9.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 72}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.9.1.3

Suma $169$ y $72$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.9.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{18}$

Paso 3.3.10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

Forma decimal:

$x = 0.14023192 \dots, - 1.58467637 \dots$