Precálculo Ejemplos

$\ln (x + 1) + \ln (x) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 1) x) = 0$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x \cdot x + 1 x) = 0$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + 1 x) = 0$

Paso 1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (x^{2} + x) = 0$

Paso 2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + x)} = e^{0}$

Paso 3

Reescribe $\ln (x^{2} + x) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{2} + x$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + x = e^{0}$ .

$x^{2} + x = e^{0}$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} + x = 1$

Paso 4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 1 = 0$

Paso 4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6

Simplifica.

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Paso 4.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 4.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x + 1) + \ln (x) = 0$ sea verdadera.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.61803398 \dots$