Precálculo Ejemplos

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Expande $(2 x + 5) (x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 1.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 1.2.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Multiplica $5$ por $- 7$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 1.2.2.2

Suma $- 14 x$ y $5 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

Paso 2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Reescribe $- 9$ como $5$ más $- 14$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Paso 2.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Paso 2.1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

Paso 2.1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 5$ .

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

Paso 5

Simplifica $e^{0} (x^{2})$ .

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Paso 5.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

Paso 5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Expande $(2 x + 5) (x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Paso 6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Paso 6.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Paso 6.2.2.1.3

Multiplica $5$ por $- 7$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 14 x$ y $5 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

Paso 6.3

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Paso 7

Suma $35$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 9 x = 35$

Paso 8

Resta $35$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Paso 9

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 10

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 9$ y $c = - 35$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

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Paso 11.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 35$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.1.3

Suma $81$ y $140$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

Paso 12

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

Paso 13

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Forma decimal:

$x = 11.93303437 \dots$