Precálculo Ejemplos

$\ln (2 x^{2} + e x) = 2$

Paso 1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (2 x^{2} + e x)} = e^{2}$

Paso 2

Reescribe $\ln (2 x^{2} + e x) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + e x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{2} + e x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + e x = e^{2}$

Paso 3.2

Resta $e^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + e x - e^{2} = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = e$ y $c = - e^{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5.1.1.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5.1.2

Suma $e^{2}$ y $8 e^{2}$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{9 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5.1.3

Reescribe $9 e^{2}$ como ${(3 e)}^{2}$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{{(3 e)}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- e \pm 3 e}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- e \pm 3 e}{4}$

Paso 3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{e}{2}, - e$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{e}{2}, - e$

Forma decimal:

$x = 1.35914091 \dots, - 2.71828182 \dots$