Precálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} + x - 20) = 1$

Paso 1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + x - 20)} = e^{1}$

Paso 2

Reescribe $\ln (x^{2} + x - 20) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 20$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + x - 20 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 20 = e$

Paso 3.2

Resta $e$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 20 - e = 0$

Paso 3.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = - 20 - e$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 20 - e))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 20 - e)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 20 - e)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 20 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.6

Suma $1$ y $80$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{81 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{81 + 4 e}}{2}$

Paso 3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - \sqrt{81 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{81 + 4 e}}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1 - \sqrt{81 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{81 + 4 e}}{2}$

Forma decimal:

$x = 4.29252353 \dots, - 5.29252353 \dots$