Precálculo Ejemplos

$\csc (x) = 16 \sin (x)$

Paso 1

Divide cada término en $\csc (x) = 16 \sin (x)$ por $\csc (x)$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $\csc (x) = 16 \sin (x)$ por $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $\csc (x)$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Separa las fracciones.

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)}$

Paso 1.3.2

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Paso 1.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin (x) \sin (x))$

Paso 1.3.4

Simplifica.

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Paso 1.3.4.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Paso 1.3.4.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Paso 1.3.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 = \frac{16}{1} {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 1.3.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 = \frac{16}{1} \sin^{2} (x)$

Paso 1.3.5

Divide $16$ por $1$ .

$1 = 16 \sin^{2} (x)$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $16 \sin^{2} (x) = 1$ .

$16 \sin^{2} (x) = 1$

Paso 3

Divide cada término en $16 \sin^{2} (x) = 1$ por $16$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $16 \sin^{2} (x) = 1$ por $16$ .

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Paso 3.2.1.2

Divide $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{16}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{16}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Paso 5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 5.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{4}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Paso 7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Paso 8

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{1}{4}$ .

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Paso 8.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Paso 8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Paso 8.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Paso 8.4

Resuelve $x$

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Paso 8.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Paso 8.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Paso 8.4.3

Resta $0.25268025$ de $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Paso 8.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 8.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1}{4}$ .

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Paso 9.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{4})$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\arcsin (- \frac{1}{4})$ .

$x = - 0.25268025$

Paso 9.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$

Paso 9.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 9.4.1

Resta $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265 - 2 π$

Paso 9.4.2

El ángulo resultante de $3.3942729$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ .

$x = 3.3942729$

Paso 9.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 9.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 9.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 9.6.1

Suma $2 π$ y $- 0.25268025$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.25268025 + 2 π$

Paso 9.6.2

Resta $0.25268025$ de $2 π$ .

$6.03050505$

Paso 9.6.3

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 6.03050505$

Paso 9.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Enumera todas las soluciones.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n, 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Consolida las soluciones.

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Paso 11.1

Consolida $0.25268025 + 2 π n$ y $3.3942729 + 2 π n$ en $0.25268025 + π n$ .

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11.2

Consolida $2.88891239 + 2 π n$ y $6.03050505 + 2 π n$ en $2.88891239 + π n$ .

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + π n$ , para cualquier número entero $n$