Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}) = 0$

Paso 1

Reescribe $\ln (\frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}$

Paso 2

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$(2 x + 1) (x - 9) = e^{0} (x^{2})$

Paso 3

Simplifica $e^{0} (x^{2})$ .

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Paso 3.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$(2 x + 1) (x - 9) = 1 x^{2}$

Paso 3.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$(2 x + 1) (x - 9) = x^{2}$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$(2 x + 1) (x - 9) - x^{2} = 0$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Expande $(2 x + 1) (x - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (x - 9) + 1 (x - 9) - x^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 1 (x - 9) - x^{2} = 0$

Paso 4.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Paso 4.2.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$2 x^{2} - 18 x + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} - 18 x + x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$2 x^{2} - 18 x + x - 9 - x^{2} = 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 18 x$ y $x$ .

$2 x^{2} - 17 x - 9 - x^{2} = 0$

Paso 4.3

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 17 x - 9 = 0$

Paso 5

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 17 x = 9$

Paso 6

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 17 x - 9 = 0$

Paso 7

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 17$ y $c = - 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 17$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.3

Suma $289$ y $36$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{325}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.4

Reescribe $325$ como $5^{2} \cdot 13$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $25$ de $325$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{25 (13)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{17 \pm 5 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{17 \pm 5 \sqrt{13}}{2}$

Paso 10

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{17 + 5 \sqrt{13}}{2}, \frac{17 - 5 \sqrt{13}}{2}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{17 + 5 \sqrt{13}}{2}, \frac{17 - 5 \sqrt{13}}{2}$

Forma decimal:

$x = 17.51387818 \dots, - 0.51387818 \dots$