Precálculo Ejemplos

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) = 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1$ .

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Paso 2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Paso 2.2.2

Resta $2 \sin^{2} (x)$ de $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Paso 3

Factoriza $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Paso 3.2

Factoriza $\sin (x)$ de $- \sqrt{3} \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3}) = 0$

Paso 3.3

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3})$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Paso 5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 5.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 5.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $\sqrt{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 6.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 6.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 6.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 6.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 6.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 6.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 6.2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 6.2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 6.2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 6.2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.8.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 6.2.8.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 6.2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 6.2.9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$