Precálculo Ejemplos

$\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1$

Paso 1

Simplifica $\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}$ .

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{6}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \geq 1$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{6}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{6}{x - 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{6}{x}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x - 1) x$ .

$\frac{6 x}{x (x - 1)} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 x - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Factoriza $6$ de $6 x - 6 (x - 1)$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$\frac{6 (x) - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $6$ de $- 6 (x - 1)$ .

$\frac{6 (x) + 6 (- (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.5.1.3

Factoriza $6$ de $6 (x) + 6 (- (x - 1))$ .

$\frac{6 (x - (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 (x - x - - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 (x - x + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.5.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{6 (0 + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.5.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 1.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} \geq 1$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $x (x - 1)$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $x (x - 1)$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$6 = 1 (x (x - 1))$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $1 (x (x - 1))$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.2.1.1.1

Multiplica $x (x - 1)$ por $1$ .

$6 = x (x - 1)$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 = x \cdot x + x \cdot - 1$

Paso 3.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 = x^{2} + x \cdot - 1$

Paso 3.2.1.1.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$6 = x^{2} - 1 \cdot x$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$6 = x^{2} - x$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} - x = 6$ .

$x^{2} - x = 6$

Paso 4.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Paso 4.3

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 4.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4.6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 2$

Paso 5

Obtén el dominio de $\frac{6}{x (x - 1)} - 1$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{6}{x (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x (x - 1) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 5.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{6}{(- 4) - 1} - \frac{6}{- 4} \geq 1$

Paso 7.1.3

$0.3$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$\frac{6}{(- 1) - 1} - \frac{6}{- 1} \geq 1$

Paso 7.2.3

$3$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{6}{(0.5) - 1} - \frac{6}{0.5} \geq 1$

Paso 7.3.3

$- 24$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.4

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.4.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 7.4.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{6}{(2) - 1} - \frac{6}{2} \geq 1$

Paso 7.4.3

$3$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 7.5.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{6}{(6) - 1} - \frac{6}{6} \geq 1$

Paso 7.5.3

$0.2$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq x < 0$ o $1 < x \leq 3$

Paso 9

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[- 2, 0) \cup (1, 3]$

Paso 10