Precálculo Ejemplos

$\cos (x) + 1 = \sin (x)$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = \sin (x) - 1$

Paso 2

Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (x) = {(\sin (x) - 1)}^{2}$

Paso 3

Simplifica ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ .

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Paso 3.1

Reescribe ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ como $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ .

$\cos^{2} (x) = (\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$

Paso 3.2

Expande $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) (\sin (x) - 1) - 1 (\sin (x) - 1)$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 (\sin (x) - 1)$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.3

Reescribe $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Reescribe $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1$

Paso 3.3.2

Resta $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$

Paso 4

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $\sin^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = - 2 \sin (x) + 1$

Paso 4.2

Suma $2 \sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 1$

Paso 4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Paso 5

Simplifica $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1$ .

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Paso 5.1

Mueve $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Paso 5.2

Reordena $\cos^{2} (x)$ y $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Paso 5.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Paso 5.4

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Paso 5.7

Aplica la identidad pitagórica.

$- \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Paso 5.8

Resta $\sin^{2} (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Sea $u = \sin (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin (x)$ .

$- 2 u^{2} + 2 u = 0$

Paso 6.1.2

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2} + 2 u$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 2 u = 0$

Paso 6.1.2.2

Factoriza $2 u$ de $2 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (1) = 0$

Paso 6.1.2.3

Factoriza $2 u$ de $2 u (- u) + 2 u (1)$ .

$2 u (- u + 1) = 0$

Paso 6.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

Paso 6.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sin (x) + 1 = 0$

Paso 6.3

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 6.3.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 6.3.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.3.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.3.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.3.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.3.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.3.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.4

Establece $- \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $- \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $- \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = - 1$

Paso 6.4.2.2

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.2.1

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.4.2.2.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Paso 6.4.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 6.4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.4.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 6.4.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.4.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.4.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 6.4.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.4.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.4.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 6.4.2.6.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.4.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.4.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\cos (x) + 1 = \sin (x)$ sea verdadera.

$x = 1.57079632, 3.14159265, 7.85398163, 9.42477796, 14.13716694, 15.70796326, 20.42035224, 21.99114857, 26.70353755, 32.98672286, 39.26990816, 45.55309347$ , para cualquier número entero $n$