Precálculo Ejemplos

$9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $- 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

Paso 1.1.3

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

Paso 1.1.4

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

Paso 1.1.5

Factoriza ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}) = 0$

Paso 1.2

Factoriza $9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $9$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 9, - 1$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Paso 1.3

Reescribe ${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Paso 1.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Paso 1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $b = 3$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Paso 1.6

Reescribe ${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.7

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2})) = 0$

Paso 1.8

Factoriza.

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Paso 1.8.1

Factoriza.

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Paso 1.8.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $b = 1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1))) = 0$

Paso 1.8.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) = 0$

Paso 1.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Paso 3

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 3.2

Resuelve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 3$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x + 1 = {(- 3)}^{2}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x + 1 = 9$

Paso 4.2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 9 - 1$

Paso 4.2.4.2

Resta $1$ de $9$ .

$x = 8$

Paso 5

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Paso 5.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.3.1.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x + 1 = {(- 1)}^{2}$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x + 1 = 1$

Paso 5.2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 1 - 1$

Paso 5.2.4.2

Resta $1$ de $1$ .

$x = 0$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 8, 0$