Precálculo Ejemplos

$8 e^{2 x} + 8 e^{x} = 6$

Paso 1

Reescribe $e^{2 x}$ como exponenciación.

$8 {(e^{x})}^{2} + 8 e^{x} = 6$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$8 u^{2} + 8 u = 6$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$8 u^{2} + 8 u - 6 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $2$ de $8 u^{2} + 8 u - 6$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) + 8 u - 6 = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $2$ de $8 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) - 6 = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) + 2 (- 3) = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $2$ de $2 (4 u^{2}) + 2 (4 u)$ .

$2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3) = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3)$ .

$2 (4 u^{2} + 4 u - 3) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 u$ .

$2 (4 u^{2} + 4 (u) - 3) = 0$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe $4$ como $- 2$ más $6$

$2 (4 u^{2} + (- 2 + 6) u - 3) = 0$

Paso 3.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (4 u^{2} - 2 u + 6 u - 3) = 0$

Paso 3.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 ((4 u^{2} - 2 u) + 6 u - 3) = 0$

Paso 3.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (2 u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1)) = 0$

Paso 3.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (2 u + 3)) = 0$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$2 u + 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.4.1

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 3.5

Establece $2 u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 u + 3$ igual a $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 u + 3 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u = - 3$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 u = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 u = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{3}{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Paso 4

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} = e^{x}$

Paso 5

Resuelve $\frac{1}{2} = e^{x}$ .

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = \frac{1}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 5.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 5.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 5.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 6

Sustituye $- \frac{3}{2}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- \frac{3}{2} = e^{x}$

Paso 7

Resuelve $- \frac{3}{2} = e^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{3}{2}$

Paso 7.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{3}{2})$

Paso 7.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- \frac{3}{2})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.4

No hay soluciones para $e^{x} = - \frac{3}{2}$

No hay solución

Paso 8

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Forma decimal:

$x = - 0.69314718 \dots$