Precálculo Ejemplos

$\tan (3 x) = - \sqrt{3}$

Paso 1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$3 x = \arctan (- \sqrt{3})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arctan (- \sqrt{3})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$3 x = - \frac{π}{3}$

Paso 3

Divide cada término en $3 x = - \frac{π}{3}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $3 x = - \frac{π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2

Multiplica $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = - \frac{π}{9}$

Paso 4

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$3 x = - \frac{π}{3} - π$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Paso 5.2

El ángulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{3} - π$ .

$3 x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 x = \frac{2 π}{3}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 x = \frac{2 π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

Paso 5.3.3.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{2 π}{9}$

Paso 6

Obtén el período de $\tan (3 x)$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 3 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{π}{3}$

Paso 7

Suma $\frac{π}{3}$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.1

Suma $\frac{π}{3}$ y $- \frac{π}{9}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{9} + \frac{π}{3}$

Paso 7.2

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{9}$

Paso 7.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{π}{9}$

Paso 7.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{π \cdot 3}{9} - \frac{π}{9}$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 3 - π}{9}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{9}$

Paso 7.5.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{9}$

Paso 7.6

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{2 π}{9}$

Paso 8

El período de la función $\tan (3 x)$ es $\frac{π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$