Precálculo Ejemplos

$\tan (2 x) = \tan (x)$

Paso 1

Resta $\tan (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la razón del ángulo doble tangente.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Paso 2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Paso 2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Paso 3

Factoriza $\tan (x)$ de $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\tan (x)$ de $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Paso 3.2

Factoriza $\tan (x)$ de $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $\tan (x)$ de $\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Paso 5

Establece $\tan (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\tan (x)$ igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\tan (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.2.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + 0$

Paso 5.2.4

Suma $π$ y $0$ .

$x = π$

Paso 5.2.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.2.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.2.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ igual a $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.2.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

Paso 6.2.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

Paso 6.2.2

Multiplica cada término en $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ por $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ por $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común de $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.2

Expande $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.2.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.2.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.3.1.2

Multiplica $- \tan (x)$ por $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.3.1.3

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.3.1.5

Multiplica $\tan (x)$ por $\tan (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.2.1.3.1.5.1

Mueve $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.3.1.5.2

Multiplica $\tan (x)$ por $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.3.2

Suma $- \tan (x)$ y $\tan (x)$ .

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.6

Multiplica $- - \tan^{2} (x)$ .

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Paso 6.2.2.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.1.6.2

Multiplica $\tan^{2} (x)$ por $1$ .

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Expande $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Paso 6.2.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Paso 6.2.2.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.3.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Paso 6.2.2.3.2.1.2

Multiplica $- \tan (x)$ por $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Paso 6.2.2.3.2.1.3

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

Paso 6.2.2.3.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

Paso 6.2.2.3.2.1.5

Multiplica $\tan (x)$ por $\tan (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.3.2.1.5.1

Mueve $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

Paso 6.2.2.3.2.1.5.2

Multiplica $\tan (x)$ por $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

Paso 6.2.2.3.2.2

Suma $- \tan (x)$ y $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

Paso 6.2.2.3.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

Paso 6.2.2.3.3

Multiplica $0$ por $1 - \tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

Paso 6.2.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.2.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Paso 6.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 6.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

Paso 6.2.3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.2.3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (x) = i$

Paso 6.2.3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (x) = - i$

Paso 6.2.3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (x) = i, - i$

Paso 6.2.4

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Paso 6.2.5

Resuelve $x$ en $\tan (x) = i$ .

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Paso 6.2.5.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (i)$

Paso 6.2.5.2

La inversa de la tangente de $\arctan (i)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.2.6

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - i$ .

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Paso 6.2.6.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- i)$

Paso 6.2.6.2

La inversa de la tangente de $\arctan (- i)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.2.7

Enumera todas las soluciones.

No hay solución

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ verdadera.

$x = π n, π + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$