Precálculo Ejemplos

$\sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x + \frac{π}{3} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3}$

Paso 3.2

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 3.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π - π \cdot 2}{6}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{π - 2 π}{6}$

Paso 3.5.2

Resta $2 π$ de $π$ .

$x = \frac{- π}{6}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{6}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 5.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.1.2

Combina fracciones.

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Paso 5.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 5.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 5.1.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.2

Para escribir $- \frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{5 π - π \cdot 2}{6}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{5 π - 2 π}{6}$

Paso 5.2.5.2

Resta $2 π$ de $5 π$ .

$x = \frac{3 π}{6}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{6}$

Paso 5.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Paso 5.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Paso 5.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6

Obtén el período de $\sin (x + \frac{π}{3})$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.3

Combina fracciones.

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Paso 7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 7.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 8

El período de la función $\sin (x + \frac{π}{3})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$