Precálculo Ejemplos

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 3.3

Para escribir $- \frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 3.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12}$

Paso 3.6.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 π - 3 π}{12}$

Paso 3.6.3

Resta $3 π$ de $4 π$ .

$x = \frac{π}{12}$

Paso 4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{3}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x + \frac{π}{4} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.1.2

Combina fracciones.

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Paso 5.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 5.1.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{4}$

Paso 5.2.2

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 5.2.3

Para escribir $- \frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Paso 5.2.4.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Paso 5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π \cdot 3}{12}$

Paso 5.2.6.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{12}$

Paso 5.2.6.3

Resta $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Paso 6

Obtén el período de $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7

El período de la función $\sin (x + \frac{π}{4})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$