Precálculo Ejemplos

$\sec (x) \csc (x) = 2 \sec (x)$

Paso 1

Resta $2 \sec (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) \csc (x) - 2 \sec (x) = 0$

Paso 2

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \csc (x) - 2 \sec (x)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $\sec (x)$ de $- 2 \sec (x)$ .

$\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cdot - 2 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cdot - 2$ .

$\sec (x) (\csc (x) - 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\csc (x) - 2 = 0$

Paso 4

Establece $\sec (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sec (x)$ igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

Paso 4.2

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 5

Establece $\csc (x) - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\csc (x) - 2$ igual a $0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\csc (x) - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = 2$

Paso 5.2.2

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (2)$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

El valor exacto de $arccsc (2)$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 5.2.4

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.5

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 5.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 5.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 5.2.5.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 5.2.6

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 5.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.7

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sec (x) (\csc (x) - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$