Precálculo Ejemplos

$\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x + \frac{π}{3} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{3}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = \frac{π}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π - π}{3}$

Paso 3.3

Resta $π$ de $π$ .

$2 x = \frac{0}{3}$

Paso 3.4

Divide $0$ por $3$ .

$2 x = 0$

Paso 4

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x + \frac{π}{3} = π - \frac{π}{3}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 6.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.1.2

Combina fracciones.

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Paso 6.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 6.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 6.1.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$2 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π - π}{3}$

Paso 6.2.3

Resta $π$ de $2 π$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Paso 6.3

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 6.3.3.2

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Paso 6.3.3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 7

Obtén el período de $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 8

El período de la función $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π n, \frac{π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$