Precálculo Ejemplos

$\sin (3 x - \frac{π}{4}) = 1$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$3 x - \frac{π}{4} = \arcsin (1)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Paso 3.5.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Paso 4

Divide cada término en $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{4}$

Paso 5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$3 x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.1.2

Combina fracciones.

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Paso 6.1.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 6.1.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Suma $\frac{π}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 6.2.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Paso 6.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Paso 6.2.5.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Paso 6.3

Divide cada término en $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Paso 6.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{4}$

Paso 7

Obtén el período de $\sin (3 x - \frac{π}{4})$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Paso 7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Paso 8

El período de la función $\sin (3 x - \frac{π}{4})$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$