Precálculo Ejemplos

$y^{4} - 4 y^{2} = - 3$

Paso 1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{4} - 4 y^{2} + 3 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 4 y^{2} + 3 = 0$

Paso 2.2

Sea $u = y^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y^{2}$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Paso 2.3

Factoriza $u^{2} - 4 u + 3$ con el método AC.

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Paso 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 2.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Paso 2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2}$ .

$(y^{2} - 3) (y^{2} - 1) = 0$

Paso 2.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(y^{2} - 3) (y^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 2.6

Factoriza.

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Paso 2.6.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$(y^{2} - 3) ((y + 1) (y - 1)) = 0$

Paso 2.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(y^{2} - 3) (y + 1) (y - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y^{2} - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

Paso 4

Establece $y^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Establece $y^{2} - 3$ igual a $0$ .

$y^{2} - 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $y^{2} - 3 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = 3$

Paso 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

Paso 4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{3}$

Paso 4.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{3}$

Paso 4.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 5

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 5.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 6

Establece $y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 6.1

Establece $y - 1$ igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

Paso 6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y^{2} - 3) (y + 1) (y - 1) = 0$ verdadera.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 1, 1$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 1, 1$

Forma decimal:

$y = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, - 1, 1$