Precálculo Ejemplos

$\log_{y} (81) = - 4$

Paso 1

Reescribe $\log_{y} (81) = - 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$y^{- 4} = 81$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} = 81$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{4}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{4}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{4}} = 81$ por $y^{4}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{4}} = 81$ por $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 81 y^{4}$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Reescribe la ecuación como $81 y^{4} = 1$ .

$81 y^{4} = 1$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $81 y^{4} = 1$ por $81$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $81 y^{4} = 1$ por $81$ .

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $81$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $y^{4}$ por $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{81}$

Paso 2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

Paso 2.4.4

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ .

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Paso 2.4.4.1

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$

Paso 2.4.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{81}}$

Paso 2.4.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.4.4.3.1

Reescribe $81$ como $3^{4}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3^{4}}}$

Paso 2.4.4.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm \frac{1}{3}$

Paso 2.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{1}{3}$

Paso 2.4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{1}{3}$

Paso 2.4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Paso 3

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{y} (81) = - 4$ sea verdadera.

$y = \frac{1}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$y = 0.\overline{3}$