Precálculo Ejemplos

$\log_{5} (x) + \log_{5} (y) = \log_{5} (3) + 1$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x y) = \log_{5} (3) + 1$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{5} (x y) - \log_{5} (3) = 1$

Paso 3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x y}{3}) = 1$

Paso 4

Reescribe $\log_{5} (\frac{x y}{3}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{x y}{3}$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x y}{3} = 5^{1}$ .

$\frac{x y}{3} = 5$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x y}{3} = 3 \cdot 5^{1}$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x y}{3} = 3 \cdot 5^{1}$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x y = 3 \cdot 5^{1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $3 \cdot 5^{1}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Evalúa el exponente.

$x y = 3 \cdot 5$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$x y = 15$

Paso 5.4

Divide cada término en $x y = 15$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x y = 15$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{15}{x}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{15}{x}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{15}{x}$