Precálculo Ejemplos

$\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\log_{3} (16)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{1}{3} \log_{3} (64)$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log_{3} (64)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$

Paso 2

Multiplica cada término en $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ por $12$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ por $12$ .

$\log_{3} (y) \cdot 12 = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $12$ a la izquierda de $\log_{3} (y)$ .

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 (3)) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 \cdot 3) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Paso 2.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$12 \log_{3} (y) = \log_{3} (16) \cdot 3 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Paso 2.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\log_{3} (16)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \cdot \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Paso 2.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 (4))$

Paso 2.3.1.3.2

Cancela el factor común.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 \cdot 4)$

Paso 2.3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \log_{3} (64) \cdot 4$

Paso 2.3.1.4

Mueve $4$ a la izquierda de $\log_{3} (64)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $12 \log_{3} (y)$ al mover $12$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (y^{12}) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Simplifica $3 \log_{3} (16)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (16^{3}) + 4 \log_{3} (64)$

Paso 4.1.1.2

Eleva $16$ a la potencia de $3$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + 4 \log_{3} (64)$

Paso 4.1.1.3

Simplifica $4 \log_{3} (64)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (64^{4})$

Paso 4.1.1.4

Eleva $64$ a la potencia de $4$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (16777216)$

Paso 4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096 \cdot 16777216)$

Paso 4.1.3

Multiplica $4096$ por $16777216$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (68719476736)$

Paso 5

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$y^{12} = 68719476736$

Paso 6

Resuelve $y$

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Paso 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[12]{68719476736}$

Paso 6.2

Simplifica $\pm \sqrt[12]{68719476736}$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $68719476736$ como $8^{12}$ .

$y = \pm \sqrt[12]{8^{12}}$

Paso 6.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 8$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = 8$

Paso 6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - 8$

Paso 6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 8, - 8$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$ sea verdadera.

$y = 8$