Precálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Paso 4.2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 2 y$

Paso 4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

Paso 4.4

Resuelve $u$

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Paso 4.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 4.4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.4.2

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 2 y$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.4.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 2 y$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Paso 4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Paso 4.4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 4.4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Paso 4.4.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

Paso 4.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.4.3.1

Resta $2 y u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

Paso 4.4.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2 y$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4

Simplifica.

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Paso 4.4.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.3.4.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot 1$ como ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 2 y$ y $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.4.3.4.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.4.3.4.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.3.1.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.3.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.3.3

Combina exponentes.

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Paso 4.4.3.4.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.3.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.4

Factoriza $2$ de $- 2 y - 2$ .

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Paso 4.4.3.4.1.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (- y) + 2 (- 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.6

Reescribe $4 (- y + 1) (- y - 1)$ como $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ .

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Paso 4.4.3.4.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.6.3

Agrega paréntesis.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

Paso 4.4.3.4.3

Simplifica $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Paso 4.4.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Paso 4.5

Sustituye $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Paso 4.6

Resuelve $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

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Paso 4.6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Paso 4.6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Paso 4.6.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.6.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Paso 4.6.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Paso 4.6.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Paso 4.7

Sustituye $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Paso 4.8

Resuelve $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

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Paso 4.8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Paso 4.8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Paso 4.8.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.8.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Paso 4.8.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Paso 4.8.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Paso 4.9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$