Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 6 x^{2} - 27$

Paso 1

Establece $x^{4} + 6 x^{2} - 27$ igual a $0$ .

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + 6 u - 27 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2.2

Factoriza $u^{2} + 6 u - 27$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 27$ y cuya suma es $6$ .

$- 3, 9$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u + 9) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 9 = 0$

Paso 2.4

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.4.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 2.5

Establece $u + 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.5.1

Establece $u + 9$ igual a $0$ .

$u + 9 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 9$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 3) (u + 9) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$u = 3$ (Multiplicidad de $1$ )

$u = - 9$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 2.7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Paso 2.8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 3$

Paso 2.9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Paso 2.9.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.9.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{3}$

Paso 2.9.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 2.9.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 2.9.3

La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz. Por ejemplo, un factor de ${(x + 5)}^{3}$ tendría una raíz en $x = - 5$ con una multiplicidad de $3$ .

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 2.10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Paso 2.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 9$

Paso 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 2.11.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 2.11.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 2.11.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 2.11.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 2.11.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 2.11.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 2.11.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 2.11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 2.11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 2.11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 2.11.5

La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz. Por ejemplo, un factor de ${(x + 5)}^{3}$ tendría una raíz en $x = - 5$ con una multiplicidad de $3$ .

$x = 3 i$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 3 i$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 3 i$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 3 i$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 2.12

La solución a $x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$ es $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$

Paso 3