Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 343$

Paso 1

Establece $x^{3} + 343$ igual a $0$ .

$x^{3} + 343 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Resta $343$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 343$

Paso 2.2

Suma $343$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 343 = 0$

Paso 2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Reescribe $343$ como $7^{3}$ .

$x^{3} + 7^{3} = 0$

Paso 2.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$(x + 7) (x^{2} - x \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$(x + 7) (x^{2} - 7 x + 7^{2}) = 0$

Paso 2.3.3.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$(x + 7) (x^{2} - 7 x + 49) = 0$

Paso 2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} - 7 x + 49 = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 2.6

Establece $x^{2} - 7 x + 49$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x^{2} - 7 x + 49$ igual a $0$ .

$x^{2} - 7 x + 49 = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $x^{2} - 7 x + 49 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 7$ y $c = 49$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.3.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Paso 2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.3

Resta $196$ de $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 147$ como $- 1 (147)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (147)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.7

Reescribe $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.2.3.1.7.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.7.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.1.9

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.4.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Paso 2.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.3

Resta $196$ de $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.4

Reescribe $- 147$ como $- 1 (147)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (147)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.7

Reescribe $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.2.4.1.7.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.7.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.1.9

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.5.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Paso 2.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.3

Resta $196$ de $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.4

Reescribe $- 147$ como $- 1 (147)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (147)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.7

Reescribe $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.6.2.5.1.7.1

Factoriza $49$ de $147$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.7.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.1.9

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 7) (x^{2} - 7 x + 49) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = - 7$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 7$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3