Precálculo Ejemplos

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$

Paso 1

Establece $9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$ igual a $0$ .

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 3 x - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x - 1$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$- (3 x) - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 2.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (3 x) - 1 \cdot 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$- (3 x + 1) + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Paso 2.1.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{5}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 2.1.3.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 21 x^{4}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $x^{2}$ de $10 x^{3}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + 6 x^{2} = 0$

Paso 2.1.3.4

Factoriza $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Paso 2.1.3.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2})$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Paso 2.1.3.6

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x)$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Paso 2.1.3.7

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6) = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.4.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Paso 2.1.4.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 0.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 3$

Paso 2.1.4.1.3

Sustituye $- 0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.4.1.3.1

Sustituye $- 0.\overline{3}$ en el polinomio.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 2.1.4.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 2.1.4.1.3.3

Multiplica $9$ por $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 2.1.4.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$- 0.\overline{3} - 21 \cdot 0.\overline{1} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 2.1.4.1.3.5

Multiplica $- 21$ por $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 2.\overline{3} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 2.1.4.1.3.6

Resta $2.\overline{3}$ de $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Paso 2.1.4.1.3.7

Multiplica $10$ por $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} - 3.\overline{3} + 6$

Paso 2.1.4.1.3.8

Resta $3.\overline{3}$ de $- 2.\overline{6}$ .

$- 6 + 6$

Paso 2.1.4.1.3.9

Suma $- 6$ y $6$ .

$0$

Paso 2.1.4.1.4

Como $- 0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6}{3 x + 1}$

Paso 2.1.4.1.5

Divide $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ por $3 x + 1$ .

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Paso 2.1.4.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$10 x$

$6$

Paso 2.1.4.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $9 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$

Paso 2.1.4.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 2.1.4.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $9 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 2.1.4.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Paso 2.1.4.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

Paso 2.1.4.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 24 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

Paso 2.1.4.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 2.1.4.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 24 x^{2} - 8 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 2.1.4.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$

Paso 2.1.4.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Paso 2.1.4.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $18 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Paso 2.1.4.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	+	$6$

Paso 2.1.4.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $18 x + 6$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$

Paso 2.1.4.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$
										$0$

Paso 2.1.4.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$3 x^{2} - 8 x + 6$

Paso 2.1.4.1.6

Escribe $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ como un conjunto de factores.

$- (3 x + 1) + x^{2} ((3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $3 x + 1$ de $- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $3 x + 1$ de $- (3 x + 1)$ .

$(3 x + 1) \cdot - 1 + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

Paso 2.1.5.2

Factoriza $3 x + 1$ de $x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ .

$(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Paso 2.1.5.3

Factoriza $3 x + 1$ de $(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6))$ .

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Paso 2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

Paso 2.1.7

Simplifica.

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Paso 2.1.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

Paso 2.1.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 6) = 0$

Paso 2.1.7.3

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Paso 2.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.8.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.8.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 (x^{2} x^{2}) - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Paso 2.1.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2 + 2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Paso 2.1.8.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Paso 2.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Paso 2.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Paso 2.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2}) = 0$

Paso 2.1.9

Reordena los términos.

$(3 x + 1) (3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza.

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Paso 2.1.10.1

Reescribe $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ en forma factorizada.

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Paso 2.1.10.1.1

Factoriza $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.10.1.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 2.1.10.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Paso 2.1.10.1.1.3

Sustituye $- 0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.10.1.1.3.1

Sustituye $- 0.\overline{3}$ en el polinomio.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{4} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Paso 2.1.10.1.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Paso 2.1.10.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $0.01234567$ .

$0.\overline{037} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Paso 2.1.10.1.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$0.\overline{037} - 8 \cdot - 0.\overline{037} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Paso 2.1.10.1.1.3.5

Multiplica $- 8$ por $- 0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} + 0.\overline{296} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Paso 2.1.10.1.1.3.6

Suma $0.\overline{037}$ y $0.\overline{296}$ .

$0.\overline{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Paso 2.1.10.1.1.3.7

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$0.\overline{3} + 6 \cdot 0.\overline{1} - 1$

Paso 2.1.10.1.1.3.8

Multiplica $6$ por $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} + 0.\overline{6} - 1$

Paso 2.1.10.1.1.3.9

Suma $0.\overline{3}$ y $0.\overline{6}$ .

$1 - 1$

Paso 2.1.10.1.1.3.10

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 2.1.10.1.1.4

Como $- 0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1}{3 x + 1}$

Paso 2.1.10.1.1.5

Divide $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ por $3 x + 1$ .

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Paso 2.1.10.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 2.1.10.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 2.1.10.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Paso 2.1.10.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Paso 2.1.10.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

Paso 2.1.10.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

Paso 2.1.10.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 9 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

Paso 2.1.10.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Paso 2.1.10.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 9 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Paso 2.1.10.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

Paso 2.1.10.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Paso 2.1.10.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $9 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Paso 2.1.10.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Paso 2.1.10.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $9 x^{2} + 3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Paso 2.1.10.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Paso 2.1.10.1.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 2.1.10.1.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 2.1.10.1.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

Paso 2.1.10.1.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x - 1$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

Paso 2.1.10.1.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$0$

Paso 2.1.10.1.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Paso 2.1.10.1.1.6

Escribe $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Paso 2.1.10.1.2

Factoriza $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.10.1.2.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.10.1.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1$

Paso 2.1.10.1.2.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.10.1.2.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 2.1.10.1.2.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 2.1.10.1.2.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 2.1.10.1.2.3.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 2.1.10.1.2.3.5

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 2.1.10.1.2.3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Paso 2.1.10.1.2.3.7

Suma $- 2$ y $3$ .

$1 - 1$

Paso 2.1.10.1.2.3.8

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 2.1.10.1.2.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Paso 2.1.10.1.2.5

Divide $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ por $x - 1$ .

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Paso 2.1.10.1.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 2.1.10.1.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Paso 2.1.10.1.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.10.1.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.10.1.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 2.1.10.1.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 2.1.10.1.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 2.1.10.1.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 2.1.10.1.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 2.1.10.1.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Paso 2.1.10.1.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Paso 2.1.10.1.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Paso 2.1.10.1.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Paso 2.1.10.1.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Paso 2.1.10.1.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Paso 2.1.10.1.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x + 1$

Paso 2.1.10.1.2.6

Escribe $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1))) = 0$

Paso 2.1.10.1.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.10.1.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2}))) = 0$

Paso 2.1.10.1.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.1.10.1.3.3

Reescribe el polinomio.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}))) = 0$

Paso 2.1.10.1.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Paso 2.1.10.1.4

Combina factores semejantes.

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Paso 2.1.10.1.4.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Paso 2.1.10.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{1 + 2}) = 0$

Paso 2.1.10.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{3}) = 0$

Paso 2.1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 2.1.11

Combina exponentes.

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Paso 2.1.11.1

Eleva $3 x + 1$ a la potencia de $1$ .

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 2.1.11.2

Eleva $3 x + 1$ a la potencia de $1$ .

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 2.1.11.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(3 x + 1)}^{1 + 1} {(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 2.1.11.4

Suma $1$ y $1$ .

${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 2.3

Establece ${(3 x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece ${(3 x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve ${(3 x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.3.2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 2.3.2.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 2.4

Establece ${(x - 1)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece ${(x - 1)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve ${(x - 1)}^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicidad de $2$ )

$x = 1$ (Multiplicidad de $3$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicidad de $2$ )

$x = 1$ (Multiplicidad de $3$ )

Paso 3