Precálculo Ejemplos

$y = 7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$

Paso 1

Establece $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ igual a $0$ .

$7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 7$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}$

Paso 2.1.3

Sustituye $0.\overline{142857}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.\overline{142857}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $0.\overline{142857}$ en el polinomio.

$7 \cdot {0.\overline{142857}}^{3} - 15 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Paso 2.1.3.2

Eleva $0.\overline{142857}$ a la potencia de $3$ .

$7 \cdot 0.00291545 - 15 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $7$ por $0.00291545$ .

$0.02040816 - 15 \cdot {0.\overline{142857}}^{2} + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Paso 2.1.3.4

Eleva $0.\overline{142857}$ a la potencia de $2$ .

$0.02040816 - 15 \cdot 0.02040816 + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $- 15$ por $0.02040816$ .

$0.02040816 - 0.30612244 + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Paso 2.1.3.6

Resta $0.30612244$ de $0.02040816$ .

$- 0.28571428 + 23 \cdot 0.\overline{142857} - 3$

Paso 2.1.3.7

Multiplica $23$ por $0.\overline{142857}$ .

$- 0.28571428 + 3.28571428 - 3$

Paso 2.1.3.8

Suma $- 0.28571428$ y $3.28571428$ .

$3 - 3$

Paso 2.1.3.9

Resta $3$ de $3$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $0.\overline{142857}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $7 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3}{7 x - 1}$

Paso 2.1.5

Divide $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ por $7 x - 1$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$7 x$

$1$

$7 x^{3}$

$15 x^{2}$

$23 x$

$3$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $7 x$ .

					$x^{2}$
	$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			+	$7 x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 14 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $7 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 14 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $21 x$ por el término de mayor orden en el divisor $7 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$
							+	$21 x$	-	$3$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $21 x - 3$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$
							-	$21 x$	+	$3$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$7 x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$23 x$	-	$3$
			-	$7 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$21 x$	-	$3$
							-	$21 x$	+	$3$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x + 3$

Paso 2.1.6

Escribe $7 x^{3} - 15 x^{2} + 23 x - 3$ como un conjunto de factores.

$(7 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$7 x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $7 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $7 x - 1$ igual a $0$ .

$7 x - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $7 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$7 x = 1$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $7 x = 1$ por $7$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $7 x = 1$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{7}$

Paso 2.4

Establece $x^{2} - 2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2} - 2 x + 3$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.2.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.4.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.3

Resta $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.7

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.4.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Paso 2.4.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(7 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = \frac{1}{7}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1 + i \sqrt{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1 - i \sqrt{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = \frac{1}{7}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1 + i \sqrt{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 1 - i \sqrt{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3