Precálculo Ejemplos

$p (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

Paso 1

Establece $3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$ igual a $0$ .

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $7 x$ de $7 x^{3} - 28 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $7 x$ de $7 x^{3}$ .

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $7 x$ de $- 28 x$ .

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $7 x$ de $7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ .

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Paso 2.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Paso 2.1.7.1.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 u$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Paso 2.1.7.1.2

Reescribe $- 10$ como $2$ más $- 12$

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8 = 0$

Paso 2.1.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Paso 2.1.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4) = 0$

Paso 2.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza.

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Paso 2.1.10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 2.1.11.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $7 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 2.1.11.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2) = 0$

Paso 2.1.11.3

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2) = 0$

Paso 2.1.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.13.1

Reordena los términos.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2) = 0$

Paso 2.1.13.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 2.1.13.2.1

Factoriza $7$ de $7 u$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2) = 0$

Paso 2.1.13.2.2

Reescribe $7$ como $1$ más $6$

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2) = 0$

Paso 2.1.13.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2) = 0$

Paso 2.1.13.2.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2) = 0$

Paso 2.1.13.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.13.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2) = 0$

Paso 2.1.13.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1)) = 0$

Paso 2.1.13.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2)) = 0$

Paso 2.1.14

Factoriza.

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Paso 2.1.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2) = 0$

Paso 2.1.15

Combina exponentes.

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Paso 2.1.15.1

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Paso 2.1.15.2

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Paso 2.1.15.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Paso 2.1.15.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

Paso 2.3

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.5

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = - 2$ (Multiplicidad de $2$ )

$x = 2$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 2$ (Multiplicidad de $2$ )

$x = 2$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3