Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 25$

$b = 15$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(25)}^{2} - {(15)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{625 - {(15)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{625 - 1 \cdot 225}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $225$ .

$\sqrt{625 - 225}$

Paso 5.3.4

Resta $225$ de $625$ .

$\sqrt{400}$

Paso 5.3.5

Reescribe $400$ como $20^{2}$ .

$\sqrt{20^{2}}$

Paso 5.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$20$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 25)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, 25)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (25))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - 25)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + 20)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, 20)$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (20))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - 20)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(25)}^{2} - {(15)}^{2}}}{25}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{625 - 15^{2}}}{25}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{625 - 1 \cdot 225}}{25}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $225$ .

$\frac{\sqrt{625 - 225}}{25}$

Paso 8.3.1.4

Resta $225$ de $625$ .

$\frac{\sqrt{400}}{25}$

Paso 8.3.1.5

Reescribe $400$ como $20^{2}$ .

$\frac{\sqrt{20^{2}}}{25}$

Paso 8.3.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{20}{25}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $20$ y $25$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$\frac{5 (4)}{25}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{5}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

Excentricidad: $\frac{4}{5}$

Paso 10