Precálculo Ejemplos

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (- θ))$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $3 (1 - \cos (- θ))$ .

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Paso 1.1.1

Como $\cos (- θ)$ es una función par, reescribe $\cos (- θ)$ como $\cos (θ)$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (θ))$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sin^{2} (θ) = 3 \cdot 1 + 3 (- \cos (θ))$

Paso 1.1.3

Multiplica.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 + 3 (- \cos (θ))$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 - 3 \cos (θ)$

Paso 2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 = - 3 \cos (θ)$

Paso 2.2

Suma $3 \cos (θ)$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Paso 3

Reemplaza $2 \sin^{2} (θ)$ con $2 (1 - \cos^{2} (θ))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

Paso 5

Resta $3$ de $2$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) - 1 + 3 \cos (θ) = 0$

Paso 6

Reordena el polinomio.

$- 2 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) - 1 = 0$

Paso 7

Sustituye $u$ por $\cos (θ)$ .

$- 2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2} + 3 u - 1$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + 3 u - 1 = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza $- 1$ de $3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 = 0$

Paso 8.1.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 8.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2}) - (- 3 u)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 8.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2} - 3 u) - 1 (1)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Paso 8.2

Factoriza.

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Paso 8.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 u$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe $- 3$ como $- 1$ más $- 2$

$- (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Paso 8.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Paso 8.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Paso 8.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Paso 8.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (2 u - 1) (u - 1) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 10

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 10.1

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 10.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 11

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 11.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 11.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (2 u - 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, 1$

Paso 13

Sustituye $\cos (θ)$ por $u$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, 1$

Paso 14

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = 1$

Paso 15

Resuelve $θ$ en $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 15.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 15.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 15.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 15.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 15.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 15.4.2

Combina fracciones.

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Paso 15.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 15.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 15.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 15.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 15.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Paso 15.5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 15.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 15.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 15.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 15.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 15.6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16

Resuelve $θ$ en $\cos (θ) = 1$ .

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Paso 16.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (1)$

Paso 16.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 16.2.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$θ = 0$

Paso 16.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - 0$

Paso 16.4

Resta $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Paso 16.5

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 16.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 16.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 16.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 16.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 16.6

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 17

Enumera todas las soluciones.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 18

Consolida $2 π n$ y $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , para cualquier número entero $n$