Precálculo Ejemplos

$\csc (x) = \sqrt{3}$

Paso 1

Usa la definición de cosecante para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\csc (x) = \frac{hipotenusa}{opuesto}$

Paso 2

Obtén el lado adyacente del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen la hipotenusa y los lados opuestos, usa el teorema de Pitágoras para encontrar el lado restante.

$Adyacente = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {opuesto}^{2}}$

Paso 3

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Adyacente = - \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica dentro del radical.

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Paso 4.1

Haz que $\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$ sea negativo.

Adyacente $= - \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

Adyacente $= - \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adyacente $= - \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

Adyacente $= - \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

Adyacente $= - \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

Adyacente $= - \sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

Adyacente $= - \sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

Paso 4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

Adyacente $= - \sqrt{3 - 1 \cdot 1}$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

Adyacente $= - \sqrt{3 - 1}$

Paso 4.5

Resta $1$ de $3$ .

Adyacente $= - \sqrt{2}$

Paso 5

Obtén el valor del seno.

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Paso 5.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 5.3

Simplifica el valor de $\sin (x)$ .

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 5.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.3.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.3.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 5.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 5.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 6

Obtén el valor del coseno.

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Paso 6.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 6.3

Simplifica el valor de $\cos (x)$ .

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Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 6.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = - (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 6.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 6.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 6.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Paso 6.3.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 7

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 7.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (x) = \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Paso 7.3

Simplifica el valor de $\tan (x)$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 7.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\tan (x) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}}$

Paso 7.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\tan (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 7.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 7.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 7.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 7.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 8

Obtén el valor de la cotangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de cotangente para obtener el valor de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cot (x) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 8.3

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$\cot (x) = - \sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el valor de la secante.

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Paso 9.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3}}{- \sqrt{2}}$

Paso 9.3

Simplifica el valor de $\sec (x)$ .

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = - (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Paso 9.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Paso 9.3.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 10

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cot (x) = - \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\csc (x) = \sqrt{3}$