Precálculo Ejemplos

$- 2 + 2 \sqrt{3} i$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = - 2$ y $b = 2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{12 + 4}$

Paso 4.3.3

Suma $12$ y $4$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Paso 4.3.4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Paso 4.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 4$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{3}}{- 2})$

Paso 6

Como la tangente inversa de $\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 7

Sustituye los valores de $θ = \frac{2 π}{3}$ y $| z | = 4$ .

$4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$