Precálculo Ejemplos

$2 x^{3} - 9 x^{2} - 20 x + 12$

Paso 1

Factoriza $2 x^{3} - 9 x^{2} - 20 x + 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Paso 1.3

Sustituye $0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $0.5$ en el polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 9 \cdot {0.5}^{2} - 20 \cdot 0.5 + 12$

Paso 1.3.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 9 \cdot {0.5}^{2} - 20 \cdot 0.5 + 12$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $0.125$ .

$0.25 - 9 \cdot {0.5}^{2} - 20 \cdot 0.5 + 12$

Paso 1.3.4

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$0.25 - 9 \cdot 0.25 - 20 \cdot 0.5 + 12$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 9$ por $0.25$ .

$0.25 - 2.25 - 20 \cdot 0.5 + 12$

Paso 1.3.6

Resta $2.25$ de $0.25$ .

$- 2 - 20 \cdot 0.5 + 12$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 20$ por $0.5$ .

$- 2 - 10 + 12$

Paso 1.3.8

Resta $10$ de $- 2$ .

$- 12 + 12$

Paso 1.3.9

Suma $- 12$ y $12$ .

$0$

Paso 1.4

Como $0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} - 20 x + 12}{2 x - 1}$

Paso 1.5

Divide $2 x^{3} - 9 x^{2} - 20 x + 12$ por $2 x - 1$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$20 x$

$12$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 8 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 8 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$24 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$24 x$	+	$12$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 24 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$24 x$	+	$12$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	+	$12$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 24 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 4 x - 12$

Paso 1.6

Escribe $2 x^{3} - 9 x^{2} - 20 x + 12$ como un conjunto de factores.

$(2 x - 1) (x^{2} - 4 x - 12)$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 4 x - 12$ con el método AC.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - 4 x - 12$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 6, 2$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(2 x - 1) ((x - 6) (x + 2))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x - 6) (x + 2)$