Precálculo Ejemplos

$x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Paso 3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} - 7 \cdot 3^{2} + 17 \cdot 3 - 15$

Paso 3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 7 \cdot 3^{2} + 17 \cdot 3 - 15$

Paso 3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 - 7 \cdot 9 + 17 \cdot 3 - 15$

Paso 3.4

Multiplica $- 7$ por $9$ .

$27 - 63 + 17 \cdot 3 - 15$

Paso 3.5

Resta $63$ de $27$ .

$- 36 + 17 \cdot 3 - 15$

Paso 3.6

Multiplica $17$ por $3$ .

$- 36 + 51 - 15$

Paso 3.7

Suma $- 36$ y $51$ .

$15 - 15$

Paso 3.8

Resta $15$ de $15$ .

$0$

Paso 4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15}{x - 3}$

Paso 5

Divide $x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$ por $x - 3$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$15$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} + 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x - 15$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 4 x + 5$

Paso 6

Escribe $x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$ como un conjunto de factores.

$(x - 3) (x^{2} - 4 x + 5)$