Precálculo Ejemplos

$x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12$

Paso 1

Factoriza $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Paso 1.3

Sustituye $- 2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $- 2$ en el polinomio.

${(- 2)}^{4} + {(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 12$

Paso 1.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$16 + {(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 12$

Paso 1.3.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$16 - 8 - 6 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 12$

Paso 1.3.4

Resta $8$ de $16$ .

$8 - 6 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 - 12$

Paso 1.3.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 - 14 \cdot - 2 - 12$

Paso 1.3.6

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$8 - 24 - 14 \cdot - 2 - 12$

Paso 1.3.7

Resta $24$ de $8$ .

$- 16 - 14 \cdot - 2 - 12$

Paso 1.3.8

Multiplica $- 14$ por $- 2$ .

$- 16 + 28 - 12$

Paso 1.3.9

Suma $- 16$ y $28$ .

$12 - 12$

Paso 1.3.10

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 1.4

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12}{x + 2}$

Paso 1.5

Divide $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12$ por $x + 2$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + 2 x^{3}$ .

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{3}$	-	$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	-	$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 8 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

Paso 1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$14 x$

$12$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x^{2}$

$14 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$6 x$

$12$

Paso 1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$6 x$	-	$12$

Paso 1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$6 x$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$12$

Paso 1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x - 12$ .

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$6 x$	-	$12$
									+	$6 x$	+	$12$

Paso 1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$14 x$	-	$12$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							-	$4 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
									-	$6 x$	-	$12$
									+	$6 x$	+	$12$
												$0$

Paso 1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$

Paso 1.6

Escribe $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} - 14 x - 12$ como un conjunto de factores.

$(x + 2) (x^{3} - x^{2} - 4 x - 6)$

Paso 2

Factoriza $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1

Factoriza $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Paso 2.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} - 3^{2} - 4 \cdot 3 - 6$

Paso 2.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 3^{2} - 4 \cdot 3 - 6$

Paso 2.1.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 6$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$27 - 9 - 4 \cdot 3 - 6$

Paso 2.1.3.5

Resta $9$ de $27$ .

$18 - 4 \cdot 3 - 6$

Paso 2.1.3.6

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$18 - 12 - 6$

Paso 2.1.3.7

Resta $12$ de $18$ .

$6 - 6$

Paso 2.1.3.8

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 4 x - 6}{x - 3}$

Paso 2.1.5

Divide $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ por $x - 3$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$6$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	-	$6$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	+	$6$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	+	$6$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 2 x + 2$

Paso 2.1.6

Escribe $x^{3} - x^{2} - 4 x - 6$ como un conjunto de factores.

$(x + 2) ((x - 3) (x^{2} + 2 x + 2))$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 2)$