Precálculo Ejemplos

$x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Paso 2

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3} - 8 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x (x^{2}) - 8 x + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Paso 2.2

Factoriza $- 2 x$ de $- 8 x$ .

$- 2 x (x^{2}) - 2 x (4) + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Paso 2.3

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Paso 3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 4$

Paso 4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 5 u + 4$

Paso 5

Factoriza $u^{2} + 5 u + 4$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u + 1) (u + 4)$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$

Paso 7

Factoriza $x^{2} + 4$ de $- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de $- 2 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$

Paso 7.2

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 1)$

Paso 7.3

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} + 1)$

Paso 8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} + 1)$

Paso 9

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 9.1

Reorganiza los términos.

$(x^{2} + 4) (u^{2} - 2 u + 1)$

Paso 9.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (u^{2} - 2 u + 1^{2})$

Paso 9.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 9.4

Reescribe el polinomio.

$(x^{2} + 4) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})$

Paso 9.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$(x^{2} + 4) {(u - 1)}^{2}$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 4) {(x - 1)}^{2}$