Precálculo Ejemplos

$x^{5} + 3 x^{4} - 25 x^{3} - 79 x^{2} + 100$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{5} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Paso 2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{5} - 25 x^{3}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Paso 2.2

Factoriza $x^{3}$ de $- 25 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Paso 2.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ .

$x^{3} (x^{2} - 25) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Paso 3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 {(x^{2})}^{2} - 79 x^{2} + 100$

Paso 6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 u + 100$

Paso 7

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ y cuya suma es $b = - 79$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 79$ de $- 79 u$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 (u) + 100$

Paso 7.1.2

Reescribe $- 79$ como $- 4$ más $- 75$

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} + (- 4 - 75) u + 100$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 4 u - 75 u + 100$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u^{2} - 4 u) - 75 u + 100$

Paso 7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + u (3 u - 4) - 25 (3 u - 4)$

Paso 7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u - 4$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u - 4) (u - 25)$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 25)$

Paso 9

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 5^{2})$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) ((x + 5) (x - 5))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Paso 11

Factoriza $(x + 5) (x - 5)$ de $x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

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Paso 11.1

Factoriza $(x + 5) (x - 5)$ de $x^{3} (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

Paso 11.2

Factoriza $(x + 5) (x - 5)$ de $(3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$

Paso 11.3

Factoriza $(x + 5) (x - 5)$ de $(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)$

Paso 12

Factoriza.

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Paso 12.1

Reescribe $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ en forma factorizada.

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Paso 12.1.1

Factoriza $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 12.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 12.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 12.1.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 12.1.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Paso 12.1.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Paso 12.1.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Paso 12.1.1.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 + 3 - 4$

Paso 12.1.1.3.5

Suma $1$ y $3$ .

$4 - 4$

Paso 12.1.1.3.6

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 12.1.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}$

Paso 12.1.1.5

Divide $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ por $x - 1$ .

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Paso 12.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Paso 12.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

Paso 12.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 12.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 12.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Paso 12.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 12.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 12.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 12.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 12.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Paso 12.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Paso 12.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Paso 12.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Paso 12.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x - 4$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Paso 12.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Paso 12.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 4 x + 4$

Paso 12.1.1.6

Escribe $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ como un conjunto de factores.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 4))$

Paso 12.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 12.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}))$

Paso 12.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 12.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

Paso 12.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})$

Paso 12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 5) (x - 5) (x - 1) {(x + 2)}^{2}$