Precálculo Ejemplos

$\csc^{2} (x) - 1 = 0$ , $(0, 2 π)$

Paso 1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc^{2} (x) = 1$

Paso 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{1}$

Paso 3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\csc (x) = \pm 1$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\csc (x) = 1$

Paso 4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\csc (x) = - 1$

Paso 4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\csc (x) = 1, - 1$

Paso 5

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 1$

Paso 6

Resuelve $x$ en $\csc (x) = 1$ .

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Paso 6.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (1)$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $arccsc (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.3

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 6.4

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.4.2

Combina fracciones.

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Paso 6.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 6.4.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6.5

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 6.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.6

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Resuelve $x$ en $\csc (x) = - 1$ .

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Paso 7.1

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

El valor exacto de $arccsc (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 7.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 7.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 7.5

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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Paso 7.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 7.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.6.3

Combina fracciones.

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Paso 7.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 7.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 7.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 7.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 7.7

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $(0, 2 π)$ .

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Paso 10.1

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Paso 10.1.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Paso 10.1.2

Simplifica.

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Paso 10.1.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Paso 10.1.2.2

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 10.1.3

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 10.2

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Paso 10.2.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Paso 10.2.2

Simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Paso 10.2.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.2.2.3

Combina fracciones.

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Paso 10.2.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Paso 10.2.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Paso 10.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.2.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Paso 10.2.2.4.2

Suma $π$ y $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 10.2.3

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$