Precálculo Ejemplos

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ , $[0, 2 π]$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Paso 3

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 5

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - 1$

Paso 6

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 8

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 9

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 10

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 11

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

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Paso 12.1

Inserta $0$ en $n$ .

$π + 2 π (0)$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$π + 0 π$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$π + 0$

Paso 12.2.2

Suma $π$ y $0$ .

$π$

Paso 12.3

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $π$ .

$x = π$