Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$ no está definida.

$x = 4$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 6.1.1.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11 (x) - 4}{x - 4}$

Paso 6.1.1.1.2

Reescribe $- 11$ como $1$ más $- 12$

$\frac{3 x^{2} + (1 - 12) x - 4}{x - 4}$

Paso 6.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 12 x - 4}{x - 4}$

Paso 6.1.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} + x - 12 x - 4}{x - 4}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 x^{2} + x) - 12 x - 4}{x - 4}$

Paso 6.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1)}{x - 4}$

Paso 6.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

Paso 6.1.2.2

Divide $3 x + 1$ por $1$ .

$3 x + 1$

Paso 6.2

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 3 x + 1$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 3 x + 1$

Paso 8